”Elevernas egna handlingar avgörande för förståelsen”

Lärare tycker att logaritmer är ”jättesvårt” att undervisa om och eleverna tycker att det är ”liksom helt obegripligt”. Roger Fermsjös överdrivna och skämtsamma generalisering sammanfattar mångas syn på logaritmer som är ett matematiskt begrepp för att förenkla komplicerade multiplikationer med stora tal. De kan också beskrivas som en relation mellan två värden.

Efter att ha undervisat i matematik på gymnasiet i flera år tog Roger chansen att forska vid Stockholms universitet och valde att undersöka hur undervisningen om logaritmbegreppet kan utvecklas och förbättras.

– Lite överdrivet upplevde jag att vi lärare sa till eleverna att ”logaritmer är bra och så kan ni lösa exponentialfunktioner med dem!” Eleverna förväntades läras sig att använda logaritmer, men det blev ett procedurellt fokus på undervisningen. Logaritmer blev ett redskap att använda, men hur det fungerade var lite ”hokus pokus”: man följer ett recept och så funkar det! Problemet uppstår när det dyker upp en annan situation som eleverna inte känner igen: då vet de inte hur de ska använda logaritmer i det nya sammanhanget.

”Eleverna kunde själva upptäcka att de kunde lösa uppgifter med hjälp av logaritmer”

Sammanlagt deltog 135 lärare och cirka 150 elever i sex olika grupper på tre olika gymnasier i studien som Roger Fermsjö ledde. Syftet var att utveckla elevernas förståelse för begreppet logaritmer och ta reda på hur uppgifter och undervisning ska utformas för att öka förståelsen.

– Jag hade erfarenhet av hur eleverna själva kunde upptäcka att de kunde lösa uppgifter med hjälp av logaritmer om de fick chansen. Jag kunde ha logaritmer som vi hade löst beskrivna på ena sidan av tavlan och uppgifter med ekvationer på den andra. Då hände det ofta att någon i klassen såg möjligheterna med logaritmer och fick med sig klassen i lösningen. Jag ville ta vara på det där, men visste inte riktigt hur. Dessutom visade tidigare forskning att undervisning om logaritmer försvårades av olika missuppfattningar hos elever.

Roger Fermsjö och några av hans kollegor utvecklade tre lektioner som inleddes med en historisk tillbakablick och förklaring till varför logaritmbegreppet uppfanns och har utvecklats. Eleverna fick lära sig att det fanns ett behov av att multiplicera stora tal och att logaritmer utvecklades på 1600-talet och då beskrevs som en spegling av tal mellan tallinjer. Så småningom utvecklades logaritmer för att lösa exponentialekvationer och sedan början av 1900-talet har logaritmiska skalor använts inom allt från geologi till fysik och samhällskunskap.

Lärare och forskare utvecklade lektioner

I studien utvecklade forskarna och lärarna uppgifter för att eleverna själva skulle konstruera logaritmer som de sedan kunde använda som ett redskap och utforska det grundläggande hos logaritmbegreppet. Ett antal uppgifter togs fram av lärarna och de skulle vara sådana att de endast kunde lösas med hjälp av elevernas ”redskap”. En uppgift innebar att visa på relationen mellan talen på två tallinjer.

Studien var en så kallad learning study som innebar att lärare och forskare tillsammans planerade en lektion som genomfördes av någon av lärarna. Lektionen videofilmades och eleverna fick sedan göra ett eftertest. Lektionen och resultat från testen analyserades och den analysen låg sedan till grund för en förändring av nästa forskningslektion som genomfördes för en ny, men likvärdig elevgrupp.

Ett exempel på en utveckling av lektionerna var att eleverna själva fick i uppgift att pröva hur en multiplikation kan bestämmas med en addition i stället för att läraren formulerade uppgiften och sedan värderade och utvecklade elevernas lösningsförslag. Eleverna fick i stället pröva några exempel själva och genom att jämföra olika exempel fick de möjlighet att få syn på det generella sambandet. Först efter att eleverna prövat sig fram med egna lösningar skulle läraren presentera specifika uppgifter att lösa.

Eleverna behövde utmanas

När de första lektionerna analyserades visade det sig bland annat att eleverna inte fick möjlighet att utvärdera sina egna eller andras lösningar.

– Det visade sig finnas ett värde i att eleverna diskuterade sina och varandras lösningar både när de var fel och när de var rätt. De diskussionerna var också användbara för läraren för att förstå elevernas uppfattningar.

– Vi upptäckte också att när läraren visade uppskattning för en lösning och sedan gav en förklaring till varför det stämde inte gjorde det möjligt för eleven eller andra att utvärdera och testa det lösningsförslaget. Eleverna behöver utmanas att utveckla resonemanget för att själva förstå och för att så många elever som möjligt ska följa med i resonemanget.

Resultatet från eftertestet, tillsammans med lektionsanalysen, visade bland annat att relationen mellan addition och multiplikation kunde urskiljas bättre om eleverna fick möjlighet att gå från det abstrakta till det konkreta: att först förstå begreppet och sedan använda det.

Genom att eleverna själva fick resonera och ta fram lösningar så visade sig uppgiften med tallinjerna fungera för att öka elevernas förståelse. Tallinjerna som användes var två stycken där den geometriska faktorn ökar med två (se illustration nedan).

I en av Roger Fermsjös studier utvecklades undervisningen med en så kallad learning study. En lektion då eleverna fick i uppgift att beskriva relationen mellan tal i två tallinjer utvecklades stegvis. (Utdrag ur Rogers licentiatuppsats.)

– Det är ju inte så jättekrångligt och med den modellen så ser man ju också ganska snabbt att det här med logaritmer handlar egentligen om exponenter och det kom eleverna på själva genom att resonera tillsammans.

– Om man bara tittar på definitionen av en logaritm så är den ju väldigt procedurell och man kan använda den direkt bara för att lösa ekvationen. Men du får ingen förståelse för varför? Varför är det en ekvivalens mellan de där två och så vidare?

Roger Fermsjö tycker att samarbetet med lärarkollegorna, som Jenny Alpsten och Qian Zhao, är värdefullt för att utveckla undervisningen. Foto: Myelie Lendelund

I dag undervisar Roger Fermsjö heltid på Södra Latins gymnasium i Stockholm och använder sina forskningsresultat i matematikundervisningen.

– Vi arbetar i ämneslag och många av de andra lärarna i matematik använder också de här uppgifterna och metoden att låta eleverna resonera själva för att förstå. Jag märker att det fungerar och de andra lärarna tycker också att det är bättre!

Med sina erfarenheter av forskningen vill Roger Fermsjö dra fler vetenskapliga slutsatser om hur undervisningen kan utvecklas.

–  Jag hoppas hitta tiden och resurserna att kunna suga tag i något nytt! Vi vet i alla fall att det finns fler begrepp som det är problematiskt att undervisa om!