Så kan en frågas innehåll visa om eleven förstår

Att förstå och kunna tillämpa begreppet förändringstakt, exempelvis hastighet, i olika sammanhang kräver att man bland annat vet att förändringstakten kan variera, att takten är en storhet i sig och att förändringen kan vara olika kraftfull: att den kan vara exponentiell eller linjär.

– Men en elev kan lösa en uppgift om förändringstakt utan att förstå begreppet, säger Robert Gunnarsson som är docent och lektor vid Jönköping University där han forskar och undervisar på lärarutbildningen.

Svar från elever i årskurs 9 analyserades

I en forskningsstudie hade forskningskollegan Per Håkansson samlat in data från 69 elever i årskurs 9 där eleverna svarade på frågor om förändringstakt. Robert och Per analyserade sedan elevernas svar och såg att olika frågeställningar kan ha betydelse för hur eleverna beskriver och beräknar förändringstakt.

Exemplet i uppgiften som eleverna löste individuellt handlade om två påsar av olika storlek. Varje påse hade varsin öppning av olika storlek som vätska droppade ur. Den ena påsen innehöll mer vätska än den andra och tog längre tid att tömmas.

– Vi ville veta om eleverna kunde räkna ut vilken påse som tömdes snabbast och hur snabbt vätskan i den påsen droppade, men också ta reda på om eleverna förstod begreppet förändringstakt på djupet. Och vilken betydelse har frågornas innehåll för att som lärare få reda på det?

Elevsvar gav uppfattning om förståelsen

Eleverna fick först en fråga om vilken påse som tömdes snabbast. Därefter fick de en fråga om hur snabbt det droppade. Även om många elever kunde räkna rätt på hur snabbt det droppade hade flera elever svårt att resonera kring vilken som var snabbast. Genom elevernas olika svar fick forskarna en uppfattning om hur de uppfattade begreppet förändringstakt.

– En elev kunde svara rätt på den värderande frågan – ”hur snabbt” – men ändå svara med ett resonemang på frågan om ur vilken påse som det droppade snabbast på ett sätt som visade att eleven inte förstod, säger Robert Gunnarsson.

Exempelvis förklarade en elev som svarat rätt på vilken påse som tömdes med den största volymen per tidsenhet att den tömdes snabbast eftersom den skulle ha tömts snabbare om mängden vätska varit lika stor. Att påsarna innehöll olika mängd vätska tog eleven inte hänsyn till. Eleven hade inte förstått att det är två saker som ska variera och att det som kan variera kan vara olika stort, medan andra elever med sina resonemang visade att en viss volym tömdes under en viss tid.

Frågornas formulering och ordningsföljd viktiga

Studien var en så kallad learning study som innebär att undervisningen dokumenteras, analyseras och utvecklas stegvis i cykler. Med hjälp av variationsteori kunde forskarna beskriva hur innehållet i frågorna påverkade lärandet och en slutsats var att väl formulerade frågor kan fungera som indikation på förståelse. Informationen från elevernas svar kan användas för att utforma undervisningen så att förståelsen ökar. I studien kan de två frågorna kategoriseras som värderande respektive jämförande. Det vill säga ”hur snabbt” respektive ”vilken droppar snabbast”. Men detaljer i formuleringen – som att ordet takt inte användes i uppgiften – tror forskarna också var viktigt för att mäta förståelsen.

”Förändringstakt ett grundläggande för derivata”

Forskarna menar också att ordningen som frågor ställs kan ha betydelse för frågornas svar.

– Det kan vi inte dra säkra slutsatser om från den här studien, men förmodligen arbetade eleverna med den jämförande uppgiften innan de arbetade med den värderande eftersom de stod i den ordningen. Vad som hade hänt om vi ändrat ordningen på frågorna undersökte vi inte, men vi tror att det vi var ute efter i studien, att ta reda på elevernas förståelse, hade blivit mer problematiskt om de först hade svarat på den värderande frågan.

Varför är det värdefullt att förstå ett begrepp som förändringstakt om man ändå kan svara rätt på hur snabbt det droppar?

– Förändringstakt är grundläggande för begreppet derivata som är centralt i högre matematik. Hur snabbt något förändras vid en given punkt är grunden till förståelse för derivatabegreppet, lutningen på en kurva exempelvis. Den förståelsen har ett värde i sig självt, men har också ett värde för den fortsatta skolgången inom ämnet matematik.

Instrumentellt kunnande och förståelse viktigt

Instrumentellt kunnande, att mekaniskt räkna och lösa tal, är värdefullt i sig, men Robert Gunnarsson poängterar riskerna med att uppgifter formuleras så att man inte upptäcker ett felaktigt resonemang.

– En del av kunskaperna i matematik handlar om instrumentellt kunnande, men all matematik handlar inte om det. Att kunna räkna ut arean eller omkretsen för något handlar ju om instrumentell kunskap i någon mening, men att förstå att area och omkrets är två olika saker som inte nödvändigtvis samvarierar är något annat.

– I fallet med påsarna med dropp så räcker det inte att de kan räkna ut hur snabbt det droppar från en patients påse om de inte kan ställa det i relation till hur snabbt det skulle droppa om man byter till en annan påse. Då är förståelsen avgörande för att kunna tillämpa kunskaperna.

Robert Gunnarsson är i grunden fysiker, men har jobbat med undervisning och lärarutbildning sedan många år. I dag är han bland annat universitetslektor och forskare i matematik- och naturvetenskapsdidaktik vid Jönköping University.

– Det är spännande att jobba med studenter och deras förståelse, men också forskningsmässigt är det fascinerande att förstå elevers förståelse! Varför gör och tänker de på det ena eller andra sättet? Hur kan en elev komma fram till att den största påsen var snabbast när en annan kommer fram till att det måste vara den minsta? Nu vet vi mer om hur vi bör ställa frågorna och i vilken ordning för att leda fram till lärande, men varför eleverna resonerar som de gör är tiotusenkronorsfrågan som vi kanske inte får svar på än på ett tag.