Hur undervisningen i matematik utformas hör till de största och viktigaste didaktiska uppgifterna för grundskolan och gymnasiet, enligt matematikprofessor Johan Lithner.
Att lösa rutinuppgifter är vanligare inom matematikundervisningen i Sverige jämfört med att lösa problem. Varför är det så när problem utan känd lösningsmetod skapar bättre förutsättningar för att lära sig matematik?
– Det finns en motsättning mellan kort- och långsiktiga fördelar, säger Johan Lithner som med stöd av ett gediget forskningsunderlag hoppas på mer problemlösning i matematikundervisningen.
Av: Johan Boström
Publicerat 2024-02-22
Johan Lithner är professor vid institutionen för naturvetenskapernas och matematikens didaktik vid Umeå universitet och har forskat om lärande och undervisning sedan utbildningen till gymnasielärare.
Han har under de senaste 25 åren lett flera forskningsprojekt som omfattat studier med data från hundratals lektioner och tusentals elever. Fokus har varit på att undersöka hur problemlösning, att eleven själv får lista ut hur en uppgift ska lösas, kan jämföras med om eleverna löser uppgifter som de vet, eller får instruktioner om, hur de ska lösas.
Resultatet från studierna som Johan Lithner och kollegor har arbetat med stämmer överens med internationella forskningsresultat: problemlösningen kan utveckla mer varaktiga kunskaper.
Exempelvis tränas ekvationslösning med en uppställning som denna, 2x+3=11, vanligen genom att läraren eller boken beskriver proceduren att först subtrahera bägge leden med 3 för att få x-termen ensam på ena sidan och sen dividera med faktorn 2 för att lösa ut x=4. Alternativet som gör uppgiften till ett problem, är om eleverna får samma ekvation men ingen information om hur den ska lösas, bara att målet är att de ska försöka lista ut vad x ska vara för att lösningen ska bli sann.
– Det är viktigt både för eleven och samhället att eleverna får en kompetens att kunna lösa matematiska problem även när läraren inte står bredvid, säger Johan Lithner och berättar om en aha-upplevelse från vardagen som lärare i matematik på Umeå universitet.
– Jag hade en klass studenter med en ganska stor variation i resultat på proven och visste vilka som tillhörde gruppen som brukade svara mer rätt och vilka som presterade sämre. Kursprovet genomfördes i regel kort i slutet av kursen, men vid ett tillfälle gjorde jag ett eftertest när det gått ett jullov efter kursen. På det eftertestet hade plötsligt alla studenter i stort sett samma resultat! Tyvärr var det närmare den väntade nivån hos den svagare gruppen. Det blev en tankeställare: hur kan så mycket kunskap gå förlorad på några veckor? Det var duktiga studenter och det var inte hos de som problemet låg.
Bekräftas av forskningen
Anekdotens kärna har stöd i forskningen. Resultat från studier i bland annat Nordamerika visade redan under 1980-talet att matematik-kunskapen från rutinuppgifter med beskrivna metoder blir mindre beständiga jämfört med från mer självständig problemlösning. Sedan dess har även forskning i Sverige bekräftat den bilden. Studier har visat att av en grupp som har löst matematiska uppgifter med hjälp av lösningsmetoder klarar sig bättre under träningen än de som har fått problemlösningsundervisning. Men i eftertester en vecka senare klarar sig de som har undervisats med problemlösning bättre (Läs mer om detta i artikeln Principles for designing mathematical tasks that enhance imitative and creative reasoning publicerad i ZDM Mathematics Education.
”Det är viktigt både för eleven och samhället att eleverna får en kompetens att kunna lösa matematiska problem även när läraren inte står bredvid.”
Trots det förekommer problemlösning sällan i svenska läromedel. Analyser av vilka matematiska resonemang som krävs för att lösa uppgifter i gymnasieläroböcker visar att cirka 70 procent av uppgifterna hade vägledning i texten som gav lösningsmetoden, cirka 20 procent hade till största delen vägledning och endast cirka 10 procent var matematiska problem som kräver resonemang.
– Andelen problem som eleverna försöker lösa kan i praktiken vara lägre, menar Johan Lithner eftersom problemen oftast kommer sist och betraktas som svårare och mer utmanande – något som alla elever inte förväntas ta sig an och lösa.
Varför är det så här i matematikundervisningen?
– Redan att kommunicera vad som menas med problemlösning är svårt, säger Johan Lithner.
– ”Problem” används vardagligt på olika sätt, exempelvis som en utmanande uppgift eller en uppgift med verklighetsanknytning, och därför är det svårare att kommunicera vad det handlar om. Lärare kan säga att de jobbar med problemlösning, men i själva verket är det rutinuppgifter med given lösningsmetod. Men den stora utmaningen ligger i att det finns en motsättning mellan kort- och långsiktiga fördelar hos de olika sätten att undervisa.
– Att som elev få ta hjälp av en färdig logaritm, en steg för steg-lösning, har många fördelar när du ska lösa en uppgift! Metoden är snabb och pålitlig och du behöver inte fundera på vad det faktiskt handlar om så länge ditt svar överensstämmer med facit.
– Om eleven däremot ställs inför ett problem så är det mer utmanande. Eleven måste förstå uppgiftens mening och förstå beskrivningen av problemet och dessutom själv konstruera en lösningsmetod. Eleven kanske måste stöttas av läraren som samtidigt inte ska servera lösningsmetoden utan snarare ge anpassad och återhållsam hjälp så att eleven får gå vidare på egen hand.
Det tog matematiker tusentals år att komma fram till det som våra elever ska lära sig. Det ska vi ta vara på. Samtidigt är det mycket värdefullt att arbeta med problemlösning i undervisningen, menar Johan Lithner.
Krävs mer aktiv insats från läraren
Problemlösning kräver en mer aktiv insats av läraren som måste kunna stötta eleven utan att alltid leda i processen fram till en lösning. Om läromedlen inte innehåller problem måste de konstrueras av läraren och när eleven ber läraren om hjälp behöver den en helt annan hjälp jämfört med att gå vidare med en rutinuppgift.
– När en elev sitter med en uppgift och har kört fast så kommer läraren ofta med en beskrivning av lösningsmetoden. På så sätt behöver läraren inte ta reda på var svårigheterna finns för eleven och eleven löser uppgiften snabbt. Men lärandeeffekten är tveksam.
I stället krävs en formativ bedömning: att undervisningen anpassas efter vad eleven kan: ”här och nu har eleven den här svårigheten”.
Om läraren ska stötta problemlösning behövs tre steg:
- Först ta reda på mer specifikt hur eleven har tänkt.
- Sedan avgöra vad elevens speciella svårigheter är. Det kan exempelvis vara en tolkningssvårighet eller att eleven inte lyckas skapa en lösningsidé. Beroende på om eleven har kört fast eller gjort fel behövs olika återkoppling och den måste vara anpassad.
- Det tredje steget: att hjälpa till att gå vidare, men lämna så mycket som möjligt åt eleven att själv lösa problemet, är ofta utmanande både för elev och lärare, menar Johan Lithner.
– Det är en djupt rotad uppfattning att elever klarar sig bäst när läraren ger hjälp i form av hela lösningsmetoden. Eleven kan uppleva att läraren överger dem när eleven förväntas behålla en större del av ansvaret för lösningen.
– Läraren kanske måste prata om varför den gör som den gör när den överlåter mer till eleven – av goda skäl. I våra studier har jag stött på elever som känner sig övergivna eller tror att läraren inte kan hjälpa dem. När de får reda på varför så kan de bli mer mottagliga för undervisningen.
Johan Lithner berättar att han exempelvis har lärt sjuåringar att derivera polynom. Genom att reducera till ganska enkla rutinprocedurer kan de yngsta eleverna klara gymnasieproblem, utan att förstå vad de gör.
Långsiktiga fördelar med problemlösning
Hur ska man hinna med undervisningen som kräver det här av läraren?
– Att genomföra formativ bedömning för att stödja problemlösning tar mer tid än att bara beskriva lösningsmetoden. Men det finns tidsmässiga fördelar med problemlösning i klassrummet – men de är långsiktiga. Vi vet att om eleven blir en bättre problemlösare så frågar eleven mer sällan. Det ser vi många exempel på i våra studier. Det finns även exempel när elever sagt till läraren: ”Stopp! Jag vill inte ha mera hjälp.”
– Att som lärare bara hjälpa eleven över hindret och sedan lämna när eleven kan gå vidare, i stället för att stå kvar och vänta på att problemet är helt löst, är också ett sätt att spara tid. Elever med stärkt matematisk auktoritet klarar mer, och vill klara mer, på egen hand.
Hur långt ner i åldrarna kan problemlösning användas i matematikundervisning?
– I vår forskningsgrupp är vi överraskade av att idéerna verkar fungera lika bra för årskurs 1 till och med gymnasiet, men det måste konkretiseras och anpassas på olika sätt. På ett sätt för division i årskurs 4 och ett annat för geometri i 8:an. Och med duploklossar kan du skapa utvecklande problem som passar olika åldrar: hur många torn kan du bygga som har olika färger om du bara får använda just dessa klossar?
– Sen får man ta det i vissa steg förstås eftersom vissa svåra begrepp och metoder måste läras in. Fördelarna har visat sig vara lika stora oavsett elevens förmåga.
Vad talar för att elever i Sverige kommer att arbeta mer med problemlösning i framtiden?
– Fördelarna övertygar i längden, tror jag, men det måste få ta tid. Om man aldrig har jobbat med det här angreppssättet får man inte till det på en kafferast, men läraren och skolan får tillbaka mycket när det fungerar. Vi arbetar nu med en lärarhandledning för lärare som vill stödja elevers resonemang i problemlösning, som troligen kommer att bli tillgänglig innan sommaren.
Tre tips om problemlösning för lärare
- Läs på om problemlösning och formativ bedömning! Många lärare som tittar i kursplanerna och ser att det står problemlösning tycker att det är bra och tänker att de redan gör det. Men det är snarare så att de flesta måste inse att det inte görs i så stor utsträckning och inse att det är utmanande och kräver en större ansträngning. Det finns kommentarsmaterial till kursplanerna som är mycket bra och även en hel del att hämta i Lärportalen från Matematiklyftet.
- Utforma bra problem! Att utforma uppgifter som problem är grundläggande för undervisningen och kräver övning om man inte är van. Undvik också att gå i fällan att göra om problem till rutinupp-gifter genom att ge eleven lösningsmetoden.
- Ta reda på vad eleven har tänkt och vilket stöd eleven behöver för att gå vidare – utan att du som lärare ger hela lösningsmetoden.
Referenser
Boesen, J., Helenius, O., Lithner, J., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Palm, T., Palmberg, B. (2014) De-veloping mathematical competence: from the intended to the enacted curriculum, Journal of Mathematical Behavior, 33: 72-87. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2013.10.001
Lithner, J. (2017). Principles for designing mathematical tasks that enhance imitative and creative reasoning. ZDM – the International Journal on Mathematics Education, 49(6), 937–949. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0867-3
Säfström, A. I., Lithner, J., Palm, T., Palmberg, B., Sidenvall, J., Andersson, C., … Granberg, C. (2023). Developing a diagnostic framework for primary and secondary students’ reasoning diffi-culties during mathematical problem solving. Educational Studies in Mathematics. Epub ahead of print. https://doi.org/10.1007/s10649-023-10278-1
