När bråk blir tal

För många elever är bråk ett av matematikens svåraste områden. Det vet Cecilia Björkhammer av egen erfarenhet efter nästan tjugo år som lärare och speciallärare i matematik. I dag är hon forskare och universitetslektor i pedagogik vid Linköpings universitet I klassrummet såg hon gång på gång hur elever fastnade när de skulle lämna de naturliga talen och börja arbeta med rationella tal.

– Bråk är komplext eftersom det kan konceptualiseras på flera olika sätt: som en del av en helhet, ett förhållande, som operator, resultatet av en division eller ett tal med ett bestämt värde. Ofta fokuserar undervisningen på del–helhet, säger hon och tillägger:

– När elever möter bråk sker också ett skifte från de naturliga talen till de rationella talen. Många tar med sig sina tidigare erfarenheter av heltal och tolkar därför bråk på ett missvisande sätt. Det kan leda till att de tror att en fjärdedel är större än en tredjedel eftersom fyra är större än tre.

Bråk som magnitud

Den klassiska pizzamodellen är ett välkänt sätt att introducera bråk. Den hjälper elever att förstå att en fjärdedel är en av fyra lika stora delar. Men enligt Cecilia Björkhammers forskning finns det effektivare sätt att bygga förståelse för bråk.

I sin avhandling har hon undersökt hur undervisning i årskurs 5 kan hjälpa elever att förstå bråk som magnitud – alltså som tal med en bestämd storlek i relation till andra tal. Nyckeln är att använda tallinjen som representation i undervisningen. Den är inte begränsande på samma sätt som cirkelmodeller, vilket gör det möjligt att se att alla bråk har en position i ett sammanhängande talsystem, säger Cecilia Björkhammer

– Läraren kan visa att bråk har en bestämd storlek och en plats i talsystemet – även bråk som är större än 1. Undervisningens fokus riktas till exempel mot var 3/4 ligger, vilket bråk som är störst eller hur långt avståndet är mellan 1/2 och 1. Samma modell fungerar dessutom lika bra för bråk som är större än ett, som 5/4 eller 7/6.

Även rektangulära bråkmodeller, så kallade bråkstavar, användes eftersom de enkelt kan läggas längs tallinjen och tydligt representera storleken av bråk som ett tal längs tallinjen.

Forskningen bygger på två interventionsstudier där ordinarie lärare genomförde undervisningen i sina egna klassrum. Lärare fick tillgång till ett tydligt upplagt lektionsmaterial och resultaten överraskade. Efter endast sju respektive nio lektioner förbättrades elevernas förståelse av bråk som tal avsevärt. Dessutom blev de bättre på aritmetik med bråk, trots att undervisningen inte fokuserade på beräkningar.

– När elever verkligen förstår bråkens storlek och värde blir det också lättare att räkna med dem, säger Cecilia Björkhammer.

Undervisningens struktur har stor betydelse

En av studierna riktades mot elever i matematiksvårigheter. Efter den individuella interventionen hade de närmat sig sina klasskamraters kunskapsnivå.

En viktig slutsats är att undervisningens struktur har stor betydelse. Cecilia Björkhammer utgår från en explicit undervisningsmodell, där ansvaret gradvis flyttas från lärare till elev. Modellen brukar beskrivas som ”I do, we do, you do”. Först modellerar läraren det matematiska innehållet och visar hur man tänker. Därefter arbetar lärare och elever tillsammans med uppgifter och resonemang. I den sista fasen arbetar eleverna mer självständigt, samtidigt som läraren följer upp och ger återkoppling.

– Läraren behöver göra matematiken synlig. Det handlar om att dela upp innehållet i mindre delar, ställa guidande frågor och ge korrigerande feedback tills eleverna behärskar det på egen hand, Cecilia Björkhammer.

Hon betonar att det inte handlar om att välja bort del–helhet, utan om att bygga en bro vidare.

– Del-helhet kan fungera som en introduktion av bråk i undervisningen, men det är viktigt att läraren riktar fokus mot bråk som ett tal. Annars finns risken att de ser täljare och nämnare som två heltal i stället för ett enda tal, vilket leder till vanliga missuppfattningar som att 1/4 skulle vara större än 1/3.

Bortom pizzor och tårtbitar

För lärare som planerar nästa arbetsområde om bråk är hennes budskap tydligt: låt inte undervisningen stanna vid pizzor och tårtbitar.

– Läraren behöver organisera undervisningen så att fokus riktas mot att uppskatta, placera, jämföra och motivera bråks storlek. När elever tillsammans med lärare får reflektera kring var bråken hör hemma på tallinjen utvecklar de en djupare förståelse för vad bråk faktiskt är.