Forskaren om att förstå bråk: ”Elevers missuppfattningar kan bestå länge”

Begrepp som ”en halv” kan betyda olika saker i vardagen och inom matematiken. Som lärare går det inte att ta för givet att eleverna omedelbart omprövar sin uppfattning i klassrummet.

– Jag har både som lärare och forskare stött på hur elever i högstadiet har med sig missuppfattningar från lågstadiet som aldrig har utmanats och blivit synliga för eleven eller för läraren, säger Caroline Nagy som efter 15 år som lärare började forska och bland annat har studerat hur man kan undervisa och lära om tal i bråkform. I dag arbetar Caroline som pedagogisk utvecklare på Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM, vid Göteborgs universitet.

– Elevers missuppfattningar kan bestå länge. Om en elev inte har förstått tal i bråkform på grund av att det i lågstadiet representeras av cirklar, och andra helheter som delas upp, så består missuppfattningen även i mellanstadiet om samma geometriska figurer används där. Och sedan vidare till högstadiet.

– Även missuppfattningar på grund av hur vi använder ord i vardagen och i matematiken kan leva vidare länge. I ett forskningsprojekt på högstadiet skulle eleverna lägga tal i bråkform i storleksordning. Läraren ställde följdfrågor om talet 9/8. En elev förklarade att man behöver två tårtor, men att de inte behöver vara lika stora eftersom man kan ha en stor och en liten tårta när man har kalas. Det resonemanget ledde till att åttondelarna blev olika stora.

– Därför har det visat sig värdefullt att låta eleverna själva rita och förklara och utmanas i sina resonemang. Dessutom är det ju mycket roligare undervisning!

Vågar tänka högt

Med roligare undervisning menar Caroline Nagy bland annat att elever vågar tänka högt utan att vara rädda att ha fel.

– Det är tyvärr vanligt att elever tror att ”antingen kan jag det här, för jag kan ju följa med i vad lärarna säger. Eller så har jag inte fattat och då är jag dålig i matte”.

– Om eleverna själva får visa hur en halv eller en fjärdedel kan se ut, och tillsammans resonera om det, så blir matten mer spännande och intressant för dem.

På Nationellt centrum för matematikutbildning arbetar Caroline Nagy bland annat med utbildningsmaterialet Tänka, resonera och räkna, TRR, som arbetats fram för olika teman inom aritmetik, baserat på forskning från förskoleklass till årskurs 3. Inom temat tal i bråkform har introduktionen av en halv i årskurs 2 prövats fram med samma grundläggande cykel som för andra matematiska idéer: talkörer i helklass som varvas med arbete två och två, helklassdiskussioner och individuellt arbete. Lärare som arbetar med TRR följer en relativt strikt lektionsplanering under tre lektioner varje vecka och kan på övrig lektionstid stärka eller variera det som ska läras.

I den första lektionen om en halv räknar eleverna tillsammans i talkör från 1 och dubblerar upp till 128 för att sedan halvera talen tillbaka till 1. Syftet är att de som inte känner sig säkra får chansen att repetera och ändå göra sig hörda, berättar Caroline Nagy.

Resonera öppet

En av grundprinciperna är att eleverna i klassrummet efter lärarens genomgång av ett matematiskt begrepp ska prata och resonera om det i klassrummet för att förstå matematikens grunder och uppfatta mönster som kan användas för annan matematik senare i undervisningen.

– Efter talkören frågar läraren varför det alltid blir samma när man dubblerar först och sedan halverar. Klassens gemensamma resonemang är värdefullt för att få syn på eventuella missuppfattningar och kanske få ett nytt perspektiv från någon elev.

– Som lärare är det också väldigt spännande att få syn på alla sätt som eleverna tänker och resonerar på. Samtidigt måste man vara beredd på att ta hand om oväntade resonemang.

Hur ska man som lärare tänka om man känner oro för att själv inte hänga med i elevernas resonemang eller få frågor som man inte kan besvara?

– Vi har hört lärare som genomfört de här lektionerna utan att riktigt ha förstått dem. Men när de har genomfört dem så har de, tack vare hjälp av samtalen med eleverna, förstått matematiken!

– Ett sätt som kan hjälpa till att våga låta eleverna resonera och dela med sig i klassrummet är att samla in lösningar med löftet att återkomma på nästa lektion. Då kan man ta hjälp av andra lärare och återkomma till eleverna. Motsatsen: att eleverna får sitta med för enkla uppgifter är förstås ingen bra lösning, säger Caroline Nagy som har egen erfarenhet som lärare i lågstadiet.

– Vi som jobbar med de yngre eleverna undervisar i alla ämnen och matematik kanske inte är favoritämnet. Men undervisningen måste vara väldigt bra från början eftersom matten i lågstadiet hänger ihop med matten i årskurs nio.

I en studie där elever i årskurs 2 introducerades till begreppet en halv, bland annat med hjälp av tallinjer lät en elev enheten 1 representeras av ”en halv bit”. Hon placerade ut 2, 6, 7 och 12 och gjorde även svaga markeringar för alla andra heltal däremellan. Sedan placerade hon utan problem talet 2 ½ mitt emellan 2 och 3.

”Använd tallinjen!”

Den största skillnaden mellan forskning om undervisning om tal i bråkform i dag, och när Caroline Nagy började forska, är kunskaper och erfarenheter om hur tallinjen kan användas.

– Även om tallinjen ännu inte nått ut i tillräckligt hög grad i läromedel bör man som lärare ändå låta eleverna arbeta med den. Addition, subtraktion, skala, proportionalitet – tallinjen går att använda i många fler områden än bråk!