Tal i bråkform är användbart och nödvändigt för att räkna på procent, proportionalitet, skala, hastighet, sannolikhet, geometri och algebra – med mera.

–  Det ger ett verktyg med otrolig räckvidd som du bör ha i din verktygslåda, säger Ola Helenius, professor på institutionen för didaktik och pedagogiska profession vid Göteborgs universitet. Ola själv plockar fram bråk ur sin verktygslåda bland annat när han konstruerar vindsurfingbrädor som är världsledande.

– Att kunna hantera bråk ger ett otroligt flexibelt verktyg som kan uttrycka en relation, förändringsfaktor eller operation. När eleven grundlagt en förståelse för bråk fungerar den sedan oavsett hur avancerad matematiken blir.

Begränsande tradition

Men att lära sig räkna med och förstå tal i bråkform innebär en större utmaning än andra moment i matematik för de flesta elever. Det visar flera studier och svårigheterna minskar inte med högre årskurser. Ola Helenius menar att orsaken till elevernas särskilda svårigheter att lära framför allt hänger ihop med hur undervisningen är utformad. När bråk introduceras som delar av helhet, ett visst antal tårtbitar i en cirkel exempelvis, uppfattas de inte som tal med en bestämd storlek och plats vilket är viktigt när matematiken blir mer avancerad.

– Eleverna får allt svårare uppgifter, men modellerna som eleverna lärt sig att arbeta med utgår från del-helhets-begreppet, enligt en skolmatematisk tradition som blir snabbt blir begränsande.

Uppfattas som enklare steg in

Att det är så vanligt att tal i bråkform introduceras som delar av helhet är förståeligt, menar Ola Helenius, eftersom det uppfattas som ett enklare steg in till bråk:

– Som lärare vill man ju göra det lätt för eleverna just med det man för tillfället undervisar i. Att använda en cirkel för bråk blir enkelt eftersom cirkeln är helheten som kan delas upp i tydliga delar.

Men priset för den till synes enkla introduktionen är högt och inte värt nackdelarna.

– Undervisningen bygger upp ett antal ställen där det kommer bli problem och det är förutsägbara problem när man utgår från tankemodellen baserad på delar av helhet. Inget kan ju vara större än ”en helhet”, men så plötsligt ska man hantera bråk som är större än 1, säger Ola Helenius och ger ett exempel när ett hinder uppstår då antalet delar tillsammans motsvarar mer än en hel.

– Om du visar 2/5 i en cirkel så tänker eleverna på 2 och 5. De leds till att räkna 1, 2, 3, 4, 5 för alla cirkelns delar och så 1,2 för de färglagda. De leds tillbaka till en pre-additiv förståelse för att reda ut vad de här två siffrorna 2/5 ska betyda. De har ju en additiv förståelse så det kan dyka upp en 7:a i resonemanget som beror på förförståelse som inte är relevant för bråket. Alltså måste eleven slänga bort sådant den lärt sig för att tolka bråket som egentligen är en relation, en multiplikativ relation, mellan 2:an och 5:an.

– Något år senare ska eleverna hålla på med åtta femtedelar, 8/5, och måste gå förbi den där cirkeln, helheten, som de blivit bekväma att hantera.

– De som har svårast att läsa matte har också svårast att överge en etablerad strategi, så den här idén kan störa för all framtid för många elever. Största utmaningen är felinlärning, men det behöver inte vara så.

Tallinjen som utgångspunkt

I stället för att introducera tal i bråkform som delar av en helhet med geometriska figurer har Ola Helenius och andra forskare och lärare letat efter alternativ. Tallinjen har visat sig fungera som en utgångspunkt som både fungerar väl för de flesta lärare att använda i undervisningen och för elevernas djupare förståelse.

– Vi har utgått från vad eleverna ska kunna i de olika årskurserna och försökt att se helheten från början. Vad ska eleverna kunna i nian och hur ska vi nå dit från allra första början?

– Vi ser av forskningsresultaten att tallinjen fungerar i undervisningen nästan oavsett på vilket sätt den används, säger Ola Helenius och skrattar till:

– Det är faktiskt så att tallinjen fungerar bättre även när den används på ett ”dåligt” sätt. Men en poäng som jag vill göra är att man redan från början ska använda tallinjer som sträcker sig förbi 1 så att steget till bråk med större täljare än nämnare blir naturligt.

– Att göra eleverna bekväma med att arbeta med tallinjen underlättar. Vi har exempelvis använt tallinjer som ligger på golvet och som eleverna går på. Då kopplas tal till elevernas spatiella tänkande, som rörelser, positioner och avstånd. Att introducera bråk för elever som redan är vana vid tallinjen blir sedan väldigt lätt.

Lagom till andra klass

Tidpunkten för att introducera bråkbegreppet anser Ola Helenius är i andra klass, men poängterar att det går att ge smakprov tidigare så länge man inte ställer för höga krav på vad eleverna ska lära sig.

Hur anpassar man undervisningen till en klass med elever på väldigt olika nivå?

– Det är ofta större skillnad mellan elever än många lärare tror och man kommer inte runt det. Om man i en helklassdiskussion till exempel har introducerat halvor på tallinjen, kan det för en del elever vara bra att jobba vidare med uppgifter som handlar om just halvor. Men andra elever kan få uppgifter som handlar om tredjedelar eller sjundedelar, för de kan själva generalisera långt bortom det som har diskuterats gemensamt. Det är ganska lätt att liksom erbjuda mer komplexitet.

– Om man har en lektionssekvens, kanske man jobbar med halvor och sen på nästa lektion jobbar man med halvor och sjättedelar. Då kan man styra eleverna så att de som behöver mer träning på det första får en repetition om halvor och några gör sjättedelar och sen kan man bygga en mer avancerad diskussion som har att göra med relationen mellan halvor och sjättedelar. För det finns ju liksom en tredjedel där: en halv gånger en tredjedel är en sjättedel. På det viset har du använt bredden av förståelse och kunnande hos elevgruppen för att i en avslutande helklassdiskussion kunna ta progressionen längre, baserat på elevernas eget arbete. Det är nästan alltid bra att ta såna här diskussioner relativt långt, även om man inte kan räkna med att alla elever förstår just den här lektionen. Sen avslutar man med något relativt enkelt så att alla trots allt går från lektionen med en känsla av att förstå.

Tar fram nya läroplanerna

Ola Helenius väg in till matematikdidaktiken gick efter gymnasiet via flera år som lärarvikarie i ”alla ämnen” där lektionerna i matematik var roligast och samtidigt något som Ola behärskade ämnesmässigt. Han påbörjade en lärarutbildning som ledde till en doktorandutbildning inom matematik, men lockades tillbaka till undervisning och lärande via Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM, där han bland annat arbetade med projektet Tänka, resonera och räkna, TRR.

I dag är han professor vid avdelningen ämnesdidaktik med inriktning matematik vid Göteborgs universitet och har utöver flera forskningsprojekt varit med i utvecklingen av läroplanerna som börjar gälla 2028.

Tar fram surfbrädor åt världseliten

Att han inte började plugga vidare direkt efter gymnasiet berodde på ett stort intresse för våg- och vindsurfing som under årens lopp har utvecklats till att också konstruera brädor med matematik som en avgörande faktor. Olas brädor används i dag av världseliten i vågvindsurfing och till skillnad från de flesta båt- och brädkonstruktörer börjar inte Olas brädor som en skiss baserad på en känsla eller uppfattning om hur det bör se ut, och som sedan bekräftas med uträkningar, utan matematiken är helt avgörande för framgångarna från början, konstaterar Ola.

– Mina brädor är i stort sett matematiska representationer av olika delar. Det är väldigt mycket matte i min process och i stort sett programmerar jag fram mina brädor.

Här gör Ola en ”aerial off the lip” på en av sina brädor nära Torekov. Foto: Christer Holm

”En bräda motsvaras av ett trettiotal matematiska formler”

Konstruktionerna föds i programmet Matlab som ger matematiken en form genom att Olas formler, där tal i bråkform förstås ingår, visualiseras till linjer, kurvor och ytor. Kurvorna matas sedan in i andra program som skapar tredimensionella ritningar som skickas till en fräs som skapar brädans form. Beroende på vilken våghöjd och vindhastighet som brädan ska användas i och vilka krav surfaren ställer på snabba svängar eller bärighet utformas brädan på olika sätt.

– En bräda motsvaras av ett trettiotal matematiska formler som sedan tillsammans blir den tredimensionella formen.

Olas tillämpning av matematik verkar fungera: regerande världsmästaren för herrar, Marc Paré använder Olas brädor.

På samma sätt som han med surfbrädorna omsätter matematik till något praktiskt tror han att idéerna om bättre didaktiska metoder för att undervisa om tal i bråkform kommer att ge resultat för eleverna.

– Utöver lärare och elever är jag i kontakt med läromedelsförfattare som är entusiastiska och tar till sig detta med bland annat tallinjen. Jag tror att vi kommer att se resultaten i internationella jämförelsestudier som Timss och Pisa så småningom.  Men det viktigaste är att det blir roligare för eleverna att gå i skolan när matematiken funkar för dem.